ПОЧЕМУ ПРОСТРАНСТВО ТРЕХМЕРНО ?
Климец
А.П.
.
С современной точки зрения вопрос: "Почему пространство имеет три измерения?" может пониматься в двух существенно различных смыслах.
Во-первых, можно попытаться объяснить трехмерность пространства исходя из глубоких свойств материального мира в рамках некоей фундаментальной теории. В существующих же физических теориях трехмерность пространства берется в качестве исходного предположения, постулата.
Второй смысл, который можно вложить в этот вопрос, можно уточнить так: "Почему физики уверены в том, что пространство имеет три измерения".
Исторически именно Иммануилу Канту - одному из великих философов - принадлежит подлинно новая идея в вопросе о размерности пространства. В работе Канта понятие размерности впервые было связано с конкретным физическим законом (законом тяготения Ньютона) и оказалось причастным к одному из знаменитых идейных противоборств в истории физики - соперничеству концепций абсолютности и относительности пространства.
Первая из них предполагает, что пространство есть нечто абсолютное, заданное, нечто, подобное готовой сцене, на которой разыгрываются физические явления, но которая не зависит от самих этих явлений. Идея же относительности пространства означает, что пространственные отношения - это лишь некоторые отношения физических тел между собой. Кант писал: " Если пространство и можно уподобить сцене, то эта сцена создается в ходе самого спектакля, создается физическими явлениями, взаимодействиями между телами. И существующей независимо от взаимодействий эту сцену нельзя даже помыслить..." [1], [4].
Кант обосновывает связь размерности пространства с законом силы следующим образом: пространство есть упорядоченность, порядок в совокупности тел, пространство - отношение тел. Однако сами эти отношения проявляются в силах, действующих между телами: " Легко доказать, что не было бы никакого пространства и никакого протяжения, если бы субстанции не обладали никакой силой действовать вовне. Ибо без этой силы нет никакой связи, без связи - никакого порядка и, наконец, без порядка нет никакого пространства...".
Далее Кант выдвигает гипотезу, что "трехмерность происходит, по-видимому, от того, что субстанции в существующем мире действуют друг на друга таким образом, что само действие обратно пропорционально квадрату расстояния" (других сил взаимодействия на расстоянии Кант не знал).
Концепция абсолютного пространства победила (хотя и не полностью) в механике Ньютона и царствовала в физике вплоть до начала ХХ века, когда в общей теории относительности Эйнштейна победила (хотя опять таки не полностью) идея относительности пространства.
Таким образом, никакого пространства самого по себе, как особой физической сущности, в природе нет. С релятивистской точки зрения понятие "пространство" выражает только совокупность отношений, складывающихся в движении и взаимодействии реальных физических объектов. Вакуум нельзя определить как пространство. В вакууме между виртуальными частицами нет отношений взаимодействия, нет связи, нет порядка, а значит не возникает пространства отношений с той или иной размерностью. Размерность пространства появляется во взаимодействиях реальных объектов, в их отношениях. Тогда очевидно, что взаимодействия в трех независимых направлениях чем-то предпочтительнее, чем взаимодействия в n - независимых направлениях.
Гипотезу Канта впоследствии развил П. Эренфест в статье "Каким образом в фундаментальных законах физики проявляется то, что пространство имеет три измерения?" [2] и показал, что только в пространстве трех измерений возможны устойчивые структуры - планетные системы, атомы и т.п. Работа Эренфеста соответствует как раз второму смыслу вопроса о размерности пространства. Мы же в данной заметке покажем, как можно обосновать трехмерность пространства исходя из более глубоких свойств материального мира.
В современной науке наиболее глубокую физическую теорию пространства и времени дает общая теория относительности, созданная Эйнштейном. Поскольку размерность - одно из наиболее фундаментальных свойств пространства-времени, то невозможно всерьез рассматривать проблему размерности вне ее связи с общей теорией относительности. А из общей теории относительности следует существование в природе таких экзотических объектов, как черные дыры.
Оказывается, трехмерность наблюдаемого физического пространства напрямую связана с образованием таких черных дыр. Покажем, что в рамках модели геона [3] можно ответить на вопрос: "почему у наблюдаемого пространства именно три измерения?". При рассмотрении этого вопроса мы воспользуемся результатами, полученными в свое время П. Эренфестом.
Эренфест рассматривает "физику" в n-мерном пространстве U n. При этом закон взаимодействия с точечным центром он выводит (аналогично трехмерному случаю) из дифференциального уравнения Пуассона в U n для потенциала, определяющего это взаимодействие.
Фундаментальные физические законы взаимодействий задаются в вариационной форме. Лагранжиан для простейшего случая скалярного безмассового поля j ( t, x1, x2, …, xn ) имеет вид.
L = (¶ j /¶ t )2 - å (¶ j /¶ xk )2……………. (1)
Этот лагранжиан приводит к уравнению Пуассона и, следовательно, к полю точечного центра j ~ R n - 2 (j ~ lnR при n=2). Размерность пространства учитывается в (1) только в виде условия на множество значений, которые может принимать индекс k. B 3+1-мерном случае k = 1, 2, 3. Таким образом, (1) позволяет получить соответствующую часть физики в пространстве любой размерности. Уравнение Пуассона как раз математически эквивалентно указанному лагранжиану (с естественным обобщением на другие поля).
В сферически-симметричном случае в U n из уравнения Пуассона или из закона Гаусса для напряженности поля следуют выражения для потенциальной энергии
E пот = - k Mm /(n - 2)Rn - 2 ; …n ³ 3 ………….(2)
E пот = k Mm lnR ; …n = 2 …………… (3)
E пот = k Mm R ; …n = 1 …………. (4)
где M, m - массы тел, k - константа взаимодействия в n - мерном пространстве. С обычной постоянной Ньютона G она находится через сшивку потенциалов для 3-мерного пространства и соответствующего n - мерного пространства. Тогда для гравитационно взаимодействующих фотонов выражения (2), (3), (4) примут следующий вид (c учетом того, что вместо масс М и m необходимо подставить P/c ,
E пот =- k P2 / c2(n - 2)R n - 2 = - k ћ 2 / c2(n - 2)R2 R n - 2 …………….(2')
E пот = k P2 lnR / c 2 = k ћ 2 lnR / c2R2 …………….(3')
E пот = k P2 R / c 2 = k ћ 2 / c2R …………….(4')
где с - скорость света, ћ - постоянная Планка. В полную потенциальную энергию системы входит и центробежная энергия геона Pj c = N c/ R форма которой, однако, не зависит от размерности пространства, точно также, как не зависит от размерности пространства форма для кинетической энергии “приведенного” фотона E = P' c, где P'=P/2. С другой стороны, центробежная энергия играет роль только в третьем приближении, поэтому далее в выражениях для полной энергии геона в пространствах U n мы не будем ее учитывать (в целях упрощения графиков). Тогда уравнения для полной энергии геона в пространствах U n будут иметь вид (при условии, что ( k = c = ћ = 1).
E (R) = ( 1-2 / (n -2) Rn - 1) / 2R ;……n ³ 3…………..(5)
E (R) = ( 1+ 2 lnR / R) / 2R ;……n= 2………….(6)
E (R) = 1,5 / R ;……n= 1…………. (7)
Обратим внимание на то, что на графиках зависимости энергии геона от R (см.[3]) точка максимума является характерной точкой, лежащей в области энергий Eпл = 1019 Гэв. Именно в ней начинается "падение" фотонов на гравитирующий "центр" и образование планковской черной дыры.
Построим графики зависимости полной энергии геона E (R) в пространствах с размерностями 1,2,3,4,5,.....,n в соответствии с соотношениями (5), (6), (7) (см.фиг.1).
Из фиг.1 видно, что максимумы кривых E (R) в пространствах U 1,U 2,U 4,U 5,…,U n лежат выше максимума кривой E (R) в U 3 . Это означает, что образование планковских черных дыр, с энергетической точки зрения, наиболее выгодно в U 3 . Из фиг.1 видно, что планковские черные дыры могут образовываться и в пространствах других размерностей (кроме U 1), но минимальная энергия фотонов, необходимая для образования планковских черных дыр, присуща именно 3-мерному пространству. Возможно, это справедливо и для полной энергии любых других взаимодействий в поле центральных сил.
Всякая система стремится прийти в состояние с минимумом энергии, выделив при этом избыток имеющейся энергии. У системы, обладающей запасом энергии (возбужденной системы), всегда есть "желание" от нее избавиться, прийти в наинизшее энергетическое состояние. Системе это "энергетически выгодно". Для пребывания в возбужденном энергетическом состоянии надо, чтобы была какая-то причина, мешающая системе освободиться от избытка энергии.
Если исходить из принципа, что любая физическая система стремиться реализоваться в состоянии с наименьшей энергией, то вполне очевидно, что, благодаря механизму образования планковских черных дыр в n - мерных пространствах, выбор трехмерного пространства из всех других возможностей при формировании наблюдаемой Метагалактики был заранее предрешен.
Действительно, согласно современным представлениям, наблюдаемая Метагалактика возникла около 13 млрд. лет тому назад из сингулярной "точки" с размером 10 - 33 см, то есть, согласно предыдущим выводам, наша Метагалактика появилась из "чернодырного" состояния физической материи. Отсюда с неизбежностью следует трехмерность наблюдаемого пространства.
Если к тому же учесть, что вакуум на планковском (самом глубоком) уровне состоит из виртуальных планковских черных дыр, возникновение которых также энергетически наиболее выгодно в пространстве размерности три, то выбор трехмерного пространства очевиден [5]. Действительно, свойство пространства быть n-мерным в точке p, топологически инвариантно [6]. Поэтому мы должны принять к сведению четырехмерный характер (пространство плюс время) элементарного физического события в микромире в качестве источника размерности реального пространства-времени. Но на планковском уровне нет других событий, кроме образования реальных и виртуальных планковских черных дыр. Таким образом, трехмерность наблюдаемого пространства (или четырехмерность пространства-времени) обусловлена исключительно "кипением" планковского вакуума. В планковских масштабах длин пустое пространство вовсе не является пустым - оно представляет собой вместилище самых бурных физических процессов [5]. Причем эти процессы есть не что иное, как гравитационный коллапс, который непрерывно и всюду совершается, но вместе с тем совершается процесс, обратный коллапсу. Коллапс при планковском масштабе длин происходит всюду и непрерывно в виде квантовой флуктуации геометрии и, по-видимому, топологии пространства. В этом смысле коллапс постоянно протекает, но вместе с тем постоянно идет обратный процесс. Но образование планковских черных дыр энергетически наиболее выгодно именно в 3-х мерном пространстве и это обусловливает трехмерность наблюдаемого пространства.
Данный вывод противоречит антропному принципу, который утверждает, что мы живем в 3-мерном пространстве потому, что Вселенные с другими размерностями существуют без наблюдателей или законы Природы устроены таким образом, чтобы во Вселенной могла возникнуть разумная жизнь. Однако, как здесь показано, Вселенных с другими размерностями не должно быть в силу их энергетической невыгодности. Вселенная с размерностью n=3 находится в основном, низшем энергетическом состоянии. Перестройка пространственных отношений, рождение пространств с размерностями n<3 или n>3 потребовало бы дополнительных затрат энергии.
Литература
1. Кант, М., Мысль, 1963, т.1
2..Erenfest P. Proc. Amsterdam acad., 1917, vol. 20
3..Klimets A.P. FIZIKA B (
4. Горелик Г.Е.
Почему пространство трехмерно?, М., Наука, 1992
5. Климец А.П. К
квантовой теории гравитации ( в книге "Мирозданье
постигая…", изд-во "ПитерПэн", г.
Донецк, 2007) или http://aklimets.narod.ru/kvantovaja_gravitacia.htm
6. В. Гуревич, Г. Волмен.
Теория размерности, с. 31
